ذرة الهيدروجين المحصورة في فجوة كروية في فضاء متعدد الأبعاد

ذرة الهيدروجين المحصورة في فجوة كروية في فضاء متعدد الأبعاد

في هذا البحث تم حل معادلة شرودنجر لذرة الهيدروجين المحصورة في فجوة كروية وفي فضاء متعدد الأبعاد N ، حيث تم ايجاد الاقترانات الموجية التي تمثل ذرة الهيدروجين تلك. كما تم ايجاد صيغة لحساب قيم الطاقة التي يمكن لها أن تمتلكها.

ومن اللافت للنظر في حل هذه المسألة أن معادلة شرودنغر تحت هذه الظروف لها نفس صيغة معادلة شرودنغر في حالة ذرة الهيدروجين الحرة وفي الفضاء متعدد الأبعاد ولذلك كان لها نفس صيغة الحل ( الاقتران) والتي تنطبق عندها شروط تحقيق الحل؛ في حين تختلف قيم الطاقة في حالة ذرة الهيدروجين الحرة عن تلك في حالة ذرة الهيدروجين المحصورة في فجوة كروية مغلقة، حيث أن الصيغة التي تستخدم لحساب قيم الطاقة في حال كونها حرة هي معادلة(3.7)، في حين أن الصيغة التي تستخدم لحساب قيم الطاقة في حال كونها محصورة تعطى بمعادلة (3.4).وكانت صيغة اقتران الحل هي:

Hyper geometric function Confluent

أي

l (ρ) = A΄ e 1F1 (l – λ; 2l N – 1; ρ)

وهذا الحل يحقق ظروف المسألة عند حدود الفجوة، حيث تكون قيمة الاقتران تساوي صفرا عندما r تساوي نصف قطر الفجوة حيث |r=S ، ولهذا نحتاج لايجاد قيم النقاط التي تكون عندها قيمة الاقتران تساوي صفرا وهذه النقاط تسمى أصفار الاقتران، وللحصول على أدنى قيمة للطاقة نختارأكبر قيمة من قيم هذه الأصفار، ولقد تم استخدام )5.0 Mathematica ( لايجاد أصفار الاقتران 1F1 (l – λ; 2l N – 1; ρ) والتي يتحقق عندها الحل والتي تستخدم لتحديد قيم الطاقة التي يمكن لذرة الهيدروجين امتلاكها في أي مستوى حسب العلاقة .

حيث هي طاقة ذرة الهيدروجين الحرة وهي في أدنى مستوى للطاقة، أما 0 فهي نصف قطر مستوى الطاقة الاول لذرة الهيدروجين ويسمى نصف قطر بور، أما S فهي نصف قطر الفجوة.

ولقد تم استنتاج ان قيم الطاقة لذرة الهيدروجين تحت هذه الظروف تعتمد على N (عدد الأبعاد التي تمثل الفضاء الذي يحتوي ذرة الهيدروجين) ، كما وتعتمد على نصف قطر الفجوة التي تحتوي على ذرة الهيدروجين.

ففي هذه الدراسة حسبت قيم الطاقة في المستوى الأدنى لذرة الهيدروجين المحصوره في فجوة كروية عندما l=0 حيث وجد أنه كلما زادت N زادت أيضا، وكلما زادت S قلت . ويفسر هذا بالأعتماد على قيمة الجهد الفعال والذي يعطى بالعلاقة:

Veff = V(r) [l (l N-2) ]

والتي منها نستطيع أن نستنتج أن قيمة الجهد الفعال تزداد بزيادة وتصبح أقل سلبية وعندها تكون قيمة الطاقة الحركية للالكترون والتي تستطيع الغاءها أ قل، وعندها تكون الطاقة الكلية للالكترون صفرا.

أما نصف قطر الفجوة التي تصبح عندها ألطاقة الكلية للالكترون تساوي صفرا فيسمى نصف القطر الحرج للفجوة Sc وعند هذه القيمة لا يعود الالكترون مقيدا.

ولقد حسبت قيم نصف القطر الحرج في هذا البحث، للأبعاد من 2 – 10 ودونت في جدول رقم (4)، حيث وجد أنه بزيادة تزداد قيمة Sc وهذا يعود لتأثير الجزء الاضافي في الجهد الفعال والذي يعمل على طرد الالكترون بعيدا عن النواة والذي يزداد بزيادة .

كما وتمت دراسة مستويات الطاقة التي يمتلك فيها الالكترون طاقة سلبية ووجد أن عددها يزداد كلما نقصت قيمة وكلما زادت قيمة S، حيث أن زيادة S ونقصان ينقص من قيمة الطاقة الكلية للالكترون.

وعند اجراء مقارنة بين قيم الطاقة التي تمتلكها ذرة الهيدروجين الموجودة في الفجوة ذات أبعاد معينة عندما l=0 مع قيم الطاقة التي تمتلكها هذه الذرة وهي حرة في نفس البعد للفضاء التي توجد فيه، تبين أن التباعد بين قيم الطاقة في الحالتين يكون ملحوظا أكثر كلما زادت قيمة .

كما ودرست العلاقة بين نصف قطر الفجوة والضغط الذي يحدثه تغيير نصف قطرها، حيث وجد ان انقاص نصف القطر يزيد الضغط الى قيمة قصوى نسمي عندها نصف قطر الفجوة Sp max واذا تناقص نصف القطر أكثر تتناقص بعدها قيمة الضغط حتى تؤول الى الصفر